METODO GRAFICO

El análisis gráfico es una alternativa eficiente para enfrentar la resolución de modelos de Programación Lineal en 2variables, donde el dominio de puntos factibles (en caso de existir) se encontrará en el primer cuadrante, como producto de la intersección de las distintas restricciones del problema lineal.

Una de las propiedades básicas de un modelo de Programación Lineal que admite solución, es que ésta se encontrará en el vértice o frontera (tramo) del dominio depuntos factibles. Es decir, si luego de gráficar el dominio y evaluar los distintos vértices de modo de elegir "el mejor" candidato según sea nuestro caso (el valor de la función objetivo será la que nos permitirá discriminar cual es el mejor candidato dependiendo si estamos maximizando o minimizando).

Consideremos un Ejemplo Introductorio en 2 variables:

· D) MIN 8X + 6Y

· S.A. 2X + Y >= 10

· ...... .2X + 2Y >= 16

· ..... ..X>= 0, Y>= 0

Comentario: Nótese que corresponde al Problema Dual de P) cuya resolución se presenta en nuestro sitio como ejemplo introductorio en la utilización de Solver de MS Excel. Para ver el detalle de la resolución gráfica de P) se recomienda al usuario Para resolver el problema D) graficamos el dominio de puntos factibles y las curvas de nivel asociadas a la función objetivo:

El área achurada en color verde representa el dominio de puntos factibles del problema D), es decir, son las distintas combinaciones de valores que pueden adoptar las variables de decisión que satisfacen las restricciones del problema. Cabe destacar que esto corresponde a un dominio no acotado, lo que no implica que el problema no tenga solución.

Por otra parte sabemos que el óptimo de un problema lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntosfactibles. En este caso tenemos 3 vértices candidatos al óptimo los cuales se señalan con flecha blanca y azul. El vértice (X,Y)= (0,10) con V(P)=60; (X,Y)=(2,6) con V(P)=52 y (X,Y)=(8,0) con V(P)=64. El mínimo valor para la función objetivo se alcanza en (X,Y)=(2,6) con V(P)=52, el cual resulta ser la Solución Óptima de D). Sin embargo, una forma más eficiente para obtener el óptimo que no implique evaluar cada vértice en la función objetivo, es desplazando las curvas de nivel de la función objetivo en la dirección del máximo decrecimiento (en el caso de un problema de minimización). Para un problema de minimización, el mayor decrecimiento se alcanza en la dirección del vector " - Gradiente F(X,Y)", en nuestro caso el vector con dirección (-8,-6) (dirección representada por flecha roja). Luego, el óptimo se alcanza en el último punto donde las curvas de nivel intersectan al dominio de puntos factibles en la dirección del máximo decrecimiento, cuya solución obviamente corresponde a (X,Y)=(2,6) con V(P)=52.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD GRÁFICO PARA 2 RESTRICCIONES

Una vez resuelto un modelo de Programación Lineal resulta útil hacer un análisis de sensibilidad que permita identificar cómo afecta en los resultados del problema variaciaciones en los parametros de éste, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente. Nuestro sitio considera una sección aparte llamada "Sensibilidad" cuyos resultados principales se pueden consultar AQUI.

1. Variación en los Coeficientes de la Función Objetivo: La pregunta que buscamos responder es cuál es el intervalo de variación para los coeficientes de la función objetivo (cada coeficiente se analiza por separado) que mantiene la actual Solución Óptima.

Un primer acercamiento es considerar las pendientes de las restricciones activas en el óptimo, es decir, aquellas restricciones que se cumplen en igualdad (en nuestro caso restricción 1 y 2). La restricción 1 (2X + Y >=10) tiene pendiente -2. La restricción 2 (2X + 2Y >=16) tiene pendiente -1. Por otra parte la pendiente de la función objetivo dado C1=8 y C2=6 es -4/3.

En consecuencia, se mantiene la actual Solución Óptima si la pendiente de la función objetivo (curvas de nivel) varían en el intervalo de las pendientes de las actuales restricciones activas. Esto es:

-2 <= -C1/C2 <= -1 (Multiplicamos por -1)

2 >= C1/C2 >= 1

Si fijamos C2=6.

2 >= C1/6 >= 1

12 >= C1 >= 6 (Garantiza la actual Solución Óptima con C2 fijo)

Si fijamos C1=8.

2 >= 8/C2 >= 1

8 >= C2 >= 4 (Garantiza la actual Solución Óptima con C1 fijo)

Nótese que en los extremos de los intervalos además de incluir la actual Solución Óptima se consideran nuevas combinaciones deldominio que mantienen el Valor Óptimo y también son Solución Óptima de D). Esta situación determina que el problema tieneinfinitas soluciones óptimas.